群と位相 (基礎数学選書 (5))

多様体が群の公理（つまり積と逆元をとる）を満たしていれば、写像が局所座標を使って微分可能関数で表されるものをリー群と云う。現代幾何学の非可換多様体の世界では集合に連続性を考慮＝位相空間（空間とは関数の集まり、位相空間とは、その上で関数が連続であるもの）そこにベクトルの構造を乗せると「位相ベクトル空間」、群の構造を乗せると「位相群」。you tube で「Dimensions Ⅴ 複素数」の最後の射影の話は非常に素晴らしいので必見です。1．射影空間と古典群の定義§1写像と集合（1）写像と集合の同型（2）直積集合§2類別と同値法則（1）類別と代表系（2）同値法則（3）射影と断面（4）誘導された写像§3群と等質集合（1）群と群の同型（2）部分群と等質集合（3）正規部分群と剰余群（4）群の直積§4体§5古典群§6K-加群とHermite行列（1）K -加群（2）K -加群の次元（3）内積をもつK -加群（4）内積と古典群（5）球面（6）Hermite行列（7）固有値（8）G (n, K )の行列の標準形§7射影空間（1）射影平面（2）射影直線（3）射影空間2．射影空間と古典群の位相§1距離空間（1）距離空間（2）距離空間における連続写像（3）有界閉集合（4）完備距離空間§2位相空間（1）位相空間（2）連続写像（3）閉包（4）基本近傍系（5）直積空間（6）コンパクト集合（7）コンパクトと同値な条件（8）弧状連結集合（9）可算開基（10）局所コンパクト空間とBaireの定理§3位相群（1）位相群（2）古典群が位相群であること（3）位相群のもつ2，3の性質（4）開写像定理§4等化空間と等質空間（1）等化空間（2）等質空間（3）準同型定理（4）コンパクト部分群（5）部分空間を１点に縮めた空間（6）射影空間の位相§5位相変換群（1）位相変換群（2）球面および射影空間と等質空間（3）連続な断面（4）軌道空間§6指数行列（1）指数行列（2）古典群の弧状連結性（3）Hermite行列と正値Hermite行列（4）一般線形群の極分解§7反射行列（1）反射行列（2）射影空間の古典群への埋め込み§8体の自己同型群3．射影空間と古典群の胞体分割§1胞複体§2射影空間の胞体（1）球面の胞体分割（2）射影平面の胞体分割（3）Hopfの写像（4）射影空間の胞体分割§3直交群の胞体（1）直交群の胞体分割（2）回転群の胞体分割§4ユニタリ群の胞体（1）拡張された反射行列（2）準懸垂空間（3）ユニタリ群の胞体分割（4）約懸垂空間（5）特殊ユニタリ群の胞体分割§5シンプレクティック群の胞体（1）拡張された反射行列（2）シンプレクティック群の胞体分割§6多様体（1）位相多様体（2）可微分多様体（3）Lie群4．射影空間と古典群の基本群と被覆空間§1ファイバー空間（1）ファイバー空間（2）ファイバー束§2Serreのファイバー空間（1）多面体（2）レトラクトと強変位レトラクト（3）Serreのファイバー空間（4）ファイバー空間の道§3基本群（1）道のホモトピー（2）基本群（3）基点のとりかえ（4）連続写像より誘導される基本群の準同型写像（5）位相群の基本群§4被覆空間（1）離散ファイバーをもつファイバー空間（2）局所弧状連結空間（3）被覆空間（4）普遍被覆空間の存在（5）離散群が働く空間§5被覆群§6ホモトピー群（1）ホモトピー群（2）弧状連結成分（3）相対ホモトピー群（4）完全系列（5）ホモトピー群の完全系列（6）ファイバー空間におけるホモトピー完全系列§7射影空間と古典群の基本群（1）射影空間の基本群（2）古典群の基本群§8スピノル群（1）Clifford代数（2）スピノル群付録（1）体における公式（2）Newtonの公式（3）H -右加群と命題25(3)の証明（4）例外群F 4とG 2（5）ホモロジー群（6）Clifford代数リー群論、表現論方面を学ぶ人は「新・数学の学び方」 小平邦彦の多様体論、微分移相幾何学、大域微分幾何学、リー群論、表現論・球面調和関数の内容を大局的に概観できる小林俊行の球の例え話が最高に素晴らしいので必読。また「幾何学と不変量」西山亨、「群の表現論序説」 高瀬幸一のまえがきもまず読もう。追記2017年メチャ分かりやすい解説は「初めて学ぶ人のための「群論入門」」横田一郎「線型代数講義 現代数学への誘い」高橋 礼司「別冊数理科学 演習形式で学ぶ リー群・リー環」示野信一ネットで「群論の軽い説明」が分かり易い。「別冊数理科学 演習形式で学ぶ リー群・リー環 」示野信一著でも学べます。「代数学」＋「幾何学」＝位相群、「代数学」＋「幾何学」＋「解析学」＝リー群、が根底にあるや位相群の定義の位相空間が多様体に、写像の連続性が微分可能性に置き換わっただけ、多様体は位相空間だから、リー群は位相群になる。